四角形の現れない三角形二種による平面分割

いわいさんのブログで出題された上記タイトルの問題ですが、私自身はさっぱり分からず、いわいさんやＭＩＮＥさんのブログを見て、なるほどと感心していました。眺めているうちに思いついたのが、長さの比が１：１＋√２の直角二等辺三角形のペアを用いたパターンで、それまで示されていたパターンと異なり、基本パターンの大きな三角形の辺の中点に小さな三角形の頂点がこないことが新しい。その旨、いわいさんのブログにコメントしたのですが、その時点では、小さな三角形を三つ使うパターンしか気付いていませんでした。後に、大きな三角形を三つ使うパターンもあることが分かりました。
さらに長周期パターンを探っていると、上記の直角二等辺三角形のペアを使うと、下図のように、一方向に非周期的なパターンを作れることに気がつきました。当初のペンローズのタイル張りのようなパターンが作れないかという目論見に半歩だけ近づいた感じです。

基本パターンは、平行四辺形から角を共有する小さな平行四辺形を除いた凹六角形を周期的に並べたものであることに着目して、考えたのが下のパターンです。計算すると黄金比が出てきて、感激したのですが、よく見ると凹四角形が現れていて、失格でした。三角形何種類使っても、基本パターン（＋2分割）以外はだめなのかもしれません。